マクスウェル方程式の電磁双対性は、電荷と電場とは別の場所（光媒質の内部）に磁荷と磁場をつくる。光媒質の内部は光が届かないので地平線の外部だが、磁荷がつくる磁場と荷電粒子は地平線上で相互作用をして $U\left(1\right)$ゲージ対称性を構成する。 　磁荷がつくる磁場 $\mathit{B}$は $\text{rot} \mathit{A}$に等しいが、この $\mathit{A}$は光媒質の外部では見えないので、荷電粒子の $U\left(1\right)$ゲージ対称性により消える。すなわち、 $\mathit{A}$はゲージ変換の任意関数 $\chi$を用いて、 $$\mathit{A}=\text{grad} \chi$$ である。ただし、 $\mathit{A}$のゲージ変換 $$\mathit{A}-{\mathit{A}}_0=\text{grad} \chi$$ $$\mathit{B}=\text{rot} \mathit{A}$$ $$\mathit{B}=\text{rot} {\mathit{A}}_0$$ で得られる ${\mathit{A}}_0$を考え、この ${\mathit{A}}_0$を $0$にする極限で、 $$\mathit{A}=\text{grad} \chi$$ が成り立つと考える。また、 $\chi$が一価関数だとストークスの定理の線積分が0になり磁荷の存在と矛盾するので、 $\chi$は多価関数である。このゲージ変換を荷電粒子に行うと、荷電粒子のハミルトニアンの中の微分は、 $$\frac{\partial }{\partial x_i}-\frac{ie}{\hslash c}{A}_i$$ $$\mathit{A}=(A_1,A_2,A_3)$$ に置き換わり、荷電粒子の波動関数は、 $$\text{exp}\left(\frac{ie}{\hslash c}\chi \right)\psi$$ に置き換わるが、次式 $$\frac{e}{\hslash c}\chi =2\pi n$$ が成立するとき、 $U\left(1\right)$ゲージ対称性が成立し、 $\mathit{A}$は（光媒質の外部から見て）消えるように見える。ただし、 $n$は整数である。（波動関数につく位相因子 $$\text{exp}\left(\frac{ie}{\hslash c}\chi \right)$$ は多価なので、位相因子どうしの割り算が一般に1にはならないことに注意する。） 　磁荷 $g$がつくる磁場 $\mathit{B}$は、電磁双対性によりガウスの法則を満たす。すなわち、 $$4\pi g={\int }_S\mathit{B}·d\mathit{S}$$ $$={\int }_S\text{rot} \mathit{A}·d\mathit{S}$$ $$={\int }_C\mathit{A}·d\mathit{r}$$ $$={\int }_{C}d\chi$$ $$=\frac{\hslash c}{e}2\pi n$$ が成立する。ただし、ストークスの定理の閉曲線 $C$は $\mathit{A}$の特異点のまわりを回る無限小ループであり、 $C$を境界とする曲面 $S$は特異点を含まない。また、最後の式は $1$の定積分 $\chi \left(\mathit{a}\right)$ $-$ $\chi \left(\mathit{a}\right)$における $\chi \left(\mathit{a}\right)$が $C$の巻き数に応じて多価になることを表す。上式より、ディラックの量子化条件 $$g=\frac{\hslash c}{2e}n$$ を得る。（モノポールは光媒質の内部と外部の境界で光と同一視される。すなわち、モノポールは光の実体である。） 　磁荷と荷電粒子の関係は、重力モノポールと物質との関係に置き換えることができる。物質に行うゲージ変換の任意関数 $\chi$が多価関数のとき、重力モノポールの質量がつくる $\mathit{A}$は（近似的に） $\text{grad} \chi$に等しいが、これは光媒質の外部から見ると $U\left(1\right)$ゲージ対称性により消えて見える。（ただし、この $U\left(1\right)$ゲージ対称性は、局所ローレンツ系にある物質がつくる重力に由来するマクスウェル方程式にもとづく。）すなわち、物質にゲージ変換を行うと、物質のハミルトニアンの中の微分は、 $$\frac{\partial }{\partial x_i}-\frac{im}{\hslash c}{A}_i$$ $$\mathit{A}=(A_1,A_2,A_3)$$ に置き換わり、物質の波動関数は、 $$\text{exp}\left(\frac{im}{\hslash c}\chi \right)\psi$$ に置き換わるが、次式$$\frac{m}{\hslash c}\chi =2\pi n$$ が成立するとき、 $U\left(1\right)$ゲージ対称性が成立し、 $\mathit{A}$は（光媒質の外部から見て）消えるように見える。ただし、 $m$は物質の質量である。 　重力モノポールの質量 $m_{\text{D}}$がつくる磁場の類似物 $\mathit{B}$は、電磁双対性の類似によりガウスの法則を満たす。すなわち、 $$4\pi G{m}_{\text{D}}={\int }_S\mathit{B}·d\mathit{S}$$ $$={\int }_S\text{rot} \mathit{A}·d\mathit{S}$$ $$={\int }_C\mathit{A}·d\mathit{r}$$ $$={\int }_{C}d\chi$$ $$=\frac{\hslash c}{m}2\pi n$$ が成立する。上式より、ディラックの量子化条件の類似物 $$m_{\text{D}}=\frac{\hslash c}{2Gm}n=\frac{{m_{\text{P}}}^2}{2m}n$$ を得る。 　重力モノポールはD-ブレーンに対応すると考えると、重力モノポールの質量 $m_{\text{D}}$は、D-ブレーンの張力と体積から決まる。すなわち、 $$m_{\text{D}}=\frac{V}{g{l}^{p+1}}\frac{\hslash }{c}$$ である。ただし、 $V$はD-ブレーンの体積、 $g$は弦の結合定数、 $l$は弦の長さである。 $V$や $l$を定数とみなすと、 $m$と $g$は同一視できるので、2個の質量 $m$がつくる重力と2個の結合定数 $g$がつくる重力を同一視できる。すなわち、2個の質量 $m$のあいだの距離 $R$をつぎの式で定義できる。 $$\frac{G{m}^2}{R}=\frac{G_s{m_{\text{P}}}^2}{R^7}$$ ただし、 $G_s$は超弦理論の重力定数であり、 $$G_s=\frac{c^3}{\hslash }{g}^2{l}^8$$ を満たす。張力と体積が定めるD-ブレーンの質量とディラックの量子化条件から $m^2$と $g^2$の関係が得られるので、それを $R$の定義式に代入すると、 $$V=l^{p-3}\frac{R^3}{2}$$ を得る。この体積を用いてD-ブレーンの質量を求めると、 $$m_{\text{D}}=\frac{V}{g{l}^4}\frac{\hslash }{c}$$ $$V=\frac{R^3}{2}$$ である。したがって、重力モノポールに対応するD-ブレーンはD3-ブレーン（ $p$が3のD-ブレーン）である。 公開日2024年09月20日 最終更新日2026年06月12日 144thousandshares株式会社 代表取締役　大安のぼる